两点分布怎么求无偏估计_两点分布方差的无偏估计

如果变量ξ遵循泊松分布P(λ)，则其期望值E(ξ)和方差D(ξ)均为λ。无偏估计量的定义是，如果估计量ξ∧的期望值等于ξ本身，即E(ξ∧)=ξ，则称ξ∧为ξ的无偏估计量。接下来我们将证明，当ξ1、ξ2、ξ3是从参数为λ的泊松总体中独立同分布抽取的样本时，这四个估计量都是λ的无偏估计量。

首先，由于ξ1、ξ2、ξ3的期望和方差都是λ，我们依次计算：

(1) 无偏性：

E(λ1∧) = E(ξ1) = λ

E(λ2∧) = E[(ξ1+ξ2)/2] = (λ+λ)/2 = λ

E(λ3∧) = E[(ξ1+2*ξ2)/3] = (λ+2λ)/3 = λ

E(λ4∧) = E[(ξ1+ξ2+ξ3)/3] = (λ+λ+λ)/3 = λ

(2) 有效性，即最小方差性：

D(λ1∧) = D(ξ1) = λ

D(λ2∧) = D[(ξ1+ξ2)/2] = [D(ξ1)+D(ξ2)]/4 = (λ+λ)/4 = λ/2

D(λ3∧) = D[(ξ1+2*ξ2)/3] = [D(ξ1)+4D(ξ2)]/9 = (λ+4λ)/9 = 5λ/9

D(λ4∧) = D[(ξ1+ξ2+ξ3)/3] = [D(ξ1+ξ2+ξ3)]/9 = (λ+λ+λ)/9 = λ/3

从上述计算中可以看出，D(λ4∧) = λ/3 是最小的方差，因此无偏估计量λ4∧具有最小方差，是最有效的估计量。